安国市住房和城乡建设局网站,wordpress acf 收费,模板之家网站,网站数字签名代码随想录算法训练营第四十一天 | 343. 整数拆分#xff0c;96.不同的二叉搜索树 343. 整数拆分动态规划贪心 96.不同的二叉搜索树 343. 整数拆分
题目链接 视频讲解 给定一个正整数 n #xff0c;将其拆分为 k 个 正整数 的和#xff08; k 2 #xff09;#xff… 代码随想录算法训练营第四十一天 | 343. 整数拆分96.不同的二叉搜索树 343. 整数拆分动态规划贪心 96.不同的二叉搜索树 343. 整数拆分
题目链接 视频讲解 给定一个正整数 n 将其拆分为 k 个 正整数 的和 k 2 并使这些整数的乘积最大化返回 你可以获得的最大乘积
输入: n 10
输出: 36
解释: 10 3 3 4, 3 × 3 × 4 36动态规划
动规五部曲分析如下 确定dp数组dp table以及下标的含义 dp[i]分拆数字i可以得到的最大乘积为dp[i] dp[i]的定义将贯彻整个解题过程下面哪一步想不懂了就想想dp[i]究竟表示的是啥 确定递推公式 可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢 其实可以从1遍历j然后有两种渠道得到dp[i] 一个是j * (i - j) 直接相乘 一个是j * dp[i - j]相当于是拆分(i - j)对这个拆分不理解的话可以回想dp数组的定义 那有人问了j怎么就不拆分呢 j是从1开始遍历拆分j的情况在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); 也可以这么理解j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘 如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了 所以递推公式dp[i] max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j}); 那么在取最大值的时候为什么还要比较dp[i]呢 因为在递推公式推导的过程中每次计算dp[i]取最大的而已。 dp的初始化 不少同学应该疑惑dp[0] dp[1]应该初始化多少呢 有的题解里会给出dp[0] 1dp[1] 1的初始化但解释比较牵强主要还是因为这么初始化可以把题目过了 严格从dp[i]的定义来说dp[0] dp[1] 就不应该初始化也就是没有意义的数值 拆分0和拆分1的最大乘积是多少 这是无解的 这里只初始化dp[2] 1从dp[i]的定义来说拆分数字2得到的最大乘积是1这个没有任何异议 确定遍历顺序 确定遍历顺序先来看看递归公式dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态所以遍历i一定是从前向后遍历先有dp[i - j]再有dp[i] 所以遍历顺序为
for (int i 3; i n ; i) {for (int j 1; j i - 1; j) {dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}注意 枚举j的时候是从1开始的从0开始的话那么让拆分一个数拆个0求最大乘积就没有意义了j的结束条件是 j i - 1 其实 j i 也是可以的不过可以节省一步例如让j i - 1的话其实在 j 1的时候这一步就已经拆出来了重复计算所以 j i - 1至于 i是从3开始这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来 更优化一步可以这样
for (int i 3; i n ; i) {for (int j 1; j i / 2; j) {dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}
因为拆分一个数n 使之乘积最大那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的 例如 6 拆成 3 * 3 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的 只不过我们不知道m究竟是多少而已但可以明确的是m一定大于等于2既然m大于等于2也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值 那么 j 遍历只需要遍历到 n/2 就可以后面就没有必要遍历了一定不是最大值 至于 “拆分一个数n 使之乘积最大那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了感兴趣的同学可以自己证明 举例推导dp数组 举例当n为10 的时候dp数组里的数值如下
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vectorint dp(n 1);dp[2] 1;for (int i 3; i n ; i) {for (int j 1; j i / 2; j) {dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}}return dp[n];}
};
贪心
本题也可以用贪心每次拆成n个3如果剩下是4则保留4然后相乘但是这个结论需要数学证明其合理性
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {if (n 2) return 1;if (n 3) return 2;if (n 4) return 4;int result 1;while (n 4) {result * 3;n - 3;}result * n;return result;}
};96.不同的二叉搜索树
题目链接 视频讲解 给你一个整数 n 求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种返回满足题意的二叉搜索树的种数
输入n 3
输出5关于什么是二叉搜索树我们之前在讲解二叉树专题的时候已经详细讲解过了也可以看看这篇二叉树二叉搜索树登场再回顾一波了解了二叉搜索树之后我们应该先举几个例子画画图看看有没有什么规律如图 n为1的时候有一棵树n为2有两棵树这个是很直观的 来看看n为3的时候有哪几种情况 当1为头结点的时候其右子树有两个节点看这两个节点的布局是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊 可能有同学问了这布局不一样啊节点数值都不一样别忘了我们就是求不同树的数量并不用把搜索树都列出来所以不用关心其具体数值的差异 当3为头结点的时候其左子树有两个节点看这两个节点的布局是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊 当2为头结点的时候其左右子树都只有一个节点布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊 发现到这里其实我们就找到了重叠子问题了其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式 dp[3]就是 元素1为头结点搜索树的数量 元素2为头结点搜索树的数量 元素3为头结点搜索树的数量 元素1为头结点搜索树的数量 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量 元素2为头结点搜索树的数量 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量 元素3为头结点搜索树的数量 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量 有2个元素的搜索树数量就是dp[2] 有1个元素的搜索树数量就是dp[1] 有0个元素的搜索树数量就是dp[0] 所以dp[3] dp[2] * dp[0] dp[1] * dp[1] dp[0] * dp[2] 如图所示 此时我们已经找到递推关系了那么可以用动规五部曲再系统分析一遍 确定dp数组dp table以及下标的含义 dp[i] 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] 也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] 都是一样的 以下分析如果想不清楚就来回想一下dp[i]的定义 确定递推公式 在上面的分析中其实已经看出其递推关系 dp[i] dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] j相当于是头结点的元素从1遍历到i为止 所以递推公式dp[i] dp[j - 1] * dp[i - j]; j-1 为j为头结点左子树节点数量i-j 为以j为头结点右子树节点数量 dp数组如何初始化 初始化只需要初始化dp[0]就可以了推导的基础都是dp[0] 那么dp[0]应该是多少呢 从定义上来讲空节点也是一棵二叉树也是一棵二叉搜索树这是可以说得通的 从递归公式上来讲dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] 1 否则乘法的结果就都变成0了 所以初始化dp[0] 1 确定遍历顺序 首先一定是遍历节点数从递归公式dp[i] dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态 那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态用j来遍历 代码如下
for (int i 1; i n; i) {for (int j 1; j i; j) {dp[i] dp[j - 1] * dp[i - j];}
}举例推导dp数组 n为5时候的dp数组状态如图
class Solution {
public:int numTrees(int n) {vectorint dp(n 1);dp[0] 1;for (int i 1; i n; i) {for (int j 1; j i; j) {dp[i] dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
};
